Jurij Schuchewytsch wurde 1933 in dem Dorf Ohladów (Ohljadiw) in der damaligen polnischen Wojewodschaft Tarnopol (heute: Gebiet Lwiw) geboren. Sein Vater, Roman Schuchewytsch, engagierte sich in der Organisation Ukrainischer Nationalisten (OUN). 1939 zog die Familie zunächst nach Krakau und 1941 nach Lwów (Lwiw). Sein Vater wurde 1943 zum Oberbefehlshaber der Ukrainischen Aufständischen Armee (UPA) ernannt.
Nach der Verhaftung seiner Mutter und Großmutter kam Schuchewytsch 1945 zusammen mit seiner fünfjährigen Schwester ins Kinderheim, zunächst nach Tschornobyl (Tschernobyl) , später nach Stalino (heute: Donezk). Von hier aus flüchtete er nach Galizien, wo er über Untergrundstrukturen Kontakt zu seinem Vater knüpfte. Um seine Schwester nachzuholen, kehrte er nach Stalino zurück, wurde jedoch am 22. August 1948 von einer Spezialeinheit des Ministeriums für Staatssicherheit verhaftet und wegen „Verbindungen zum Untergrund“ zu zehn Jahren Straflager verurteilt. Sein Vater, der unter dem Pseudonym „Taras Tschuprynka“ bekannt war, kam 1950 in der Nähe von Lwiw bei einem Gefecht mit Truppen des Ministeriums für Staatssicherheit ums Leben. Schuchewytsch wurde aus dem Gefängnis geholt, um ihn zu identifizieren.
1956 beschloss das Bezirksgericht Wladimir, Schuchewytsch vorzeitig aus der Haft zu entlassen, da er zur Tatzeit noch nicht volljährig war. Er zog an den Verbannungsort seiner Mutter. Nach ihrer Freilassung kehrten sie gemeinsam nach Lwiw zurück. Eine polizeiliche Anmeldung wurde ihnen verweigert, sodass seine Mutter schon bald erneut zu einer dreijährigen Gefängnisstrafe wegen „Verletzung der Meldebestimmungen“ verurteilt wurde (nach zwei Jahren kam sie im Rahmen einer Amnestie frei). Zugleich wurde auf Betreiben von Roman Rudenko, Generalstaatsanwalt der UdSSR, auch Schuchewytsch erneut verhaftet, um seine frühere Strafe vollständig bis zum Ende zu verbüßen. Nach Ablauf dieser Zeit 1958 wurde er jedoch nicht aus der Haft entlassen, sondern am 1. Dezember vom Bezirksgericht Lwiw gemäß Artikel 54, Paragraf 10 Strafgesetzbuch der Ukrainischen SSR (entspricht Artikel 58, Paragraf 10 Strafgesetzbuch der RSFSR) zu weiteren zehn Jahren Freiheitsentzug (davon fünf Jahre unter verschärften Haftbedingungen und fünf Jahre in einem „normalen“ Straflager) verurteilt. Er wurde in den Lagerkomplex der mordwinischen Lager gebracht. In einem auf den 1. Juli 1967 datierten Brief an den Vorsitzenden des Obersten Sowjets der UdSSR Demian Krotschenko beschrieb er, wie die damalige Anklage gegen ihn inszeniert worden war.
Dem Kontakt zu seinen Mitgefangenen – darunter Professoren, Philosophen, Schriftsteller, Wissenschaftler und Ingenieure, von denen viele damals in Gefängnissen und Lagern inhaftiert waren – verdankte Schuchewytsch nach eigener Aussage seine Allgemeinbildung. In den Lagerbibliotheken fand er zudem Bücher, die woanders schon längst aus dem Verkehr gezogen worden waren.
Nach seiner Haftentlassung 1968 durfte Schuchewytsch zehn Jahre lang keinen Wohnsitz in der Ukraine nehmen. Er ließ sich in der Stadt Nalschik im Nordkaukasus nieder. Dort arbeitete er als Elektriker und gründete eine Familie, mit der er eine Zeit lang bei Nina Strokata lebte, durch die er Anschluss an die Generation der Sechziger fand. Im Juni 1970 war er eine von neun Personen, die einen Protestbrief an die Partei- und Staatsführung gegen die Verhaftung von Walentyn Moros unterschrieb.
Während der Zweiten Verhaftungswelle in der Ukraine wurde auch Schuchewytsch am 14. Februar 1972 festgenommen. Das Oberste Gericht der Kabardino-Balkarischen ASSR verurteilte ihn am 8. September 1972 nach Artikel *70, Paragraf 2 Strafgesetzbuch der RSFSR als „besonders gefährlichen Rückfalltäter“ zu zehn Jahren Straflager und fünf Jahren Verbannung. Anklagepunkt war unter anderem sein Aufsatz „Laute Überlegungen“ (Rozdumy w holos) über die Perspektiven der nationalen Befreiungsbewegung der folgenden zehn Jahre. Zu diesem Zeitpunkt hatte er den Text noch gar nicht fertiggestellt, vollendete ihn aber im Gefängnis und schleuste ihn von dort nach außen. Noch während der Untersuchungshaft war es ihm gelungen, einen Brief an die UNO aus dem Gefängnis zu schmuggeln, in dem er das willkürliche Justizsystem der UdSSR beschrieb und das repressive Vorgehen des Regimes gegen national gesinnte Bürger verurteilte. Bei einer Durchsuchung wurde eine Kopie dieses Briefes konfisziert, woraufhin Schuchewytsch am 23. Juli 1973 vom Obersten Gericht der Kabardino-Balkarischen ASSR erneut nach Artikel 70, Paragraf 2 Strafgesetzbuch der RSFSR zu zehn Jahren Straflager und fünf Jahren Verbannung verurteilt wurde. Das bereits im Gefängnis verbrachte Jahr wurde auf die Haftdauer nicht angerechnet. Während seiner Inhaftierung unternahm der KGB den Versuch, ihn für eine Zusammenarbeit anzuwerben. Die von ihm geforderte öffentliche Reueerklärung verweigerte er. 1979 wurde er ins Wladimir-Gefängnis überstellt, später kam er in das Gefängnis von Tschistopol.
Am 24. Dezember 1979 verfasste er gemeinsam mit seinem Mitgefangenen Wladimir Balachonow einen Brief an das Präsidium des Obersten Sowjets der UdSSR, in dem sie gegen den Einmarsch sowjetischer Truppen in Afghanistan protestierten. Bereits im Februar 1979 waren er und eine Gruppe politischer Gefangener und Verbannter in die Ukrainische Helsinki-Gruppe aufgenommen worden. Später erklärte Schuchewytsch, dies sei damals mit ihm nicht abgestimmt gewesen. Die Haftbedingungen wirkten sich auch gesundheitlich aus: Er bekam Magengeschwüre und verlor sein Sehvermögen. Eine Augenoperation im Gefängniskrankenhaus Leningrad im Jahre 1982 misslang. Ab März 1983 lebte er in einem Behindertenheim in Tomsk.
Immer wieder versuchten die Behörden, ihn zu einer Abkehr von seinem Vater und den ukrainischen Nationalisten zu bewegen, um 1985 schließlich die direkte Konfrontation zu suchen. Die Zeitung „Visti z Ukraïny“ (Nachrichten aus der Ukraine, Nr. 28/1985) druckte einen Beitrag, in dem aus einer angeblichen Erklärung Schuchewytschs zitiert wurde, in der er sich zum „endgültigen Bruch mit dem ukrainischen Nationalismus“ bekannte und nationalistische Aktivitäten jeder Art verurteilte. Weder Schuchewytsch selbst noch seine Angehörigen wussten etwas von dieser Veröffentlichung.
Am 11. Januar 1988 wurde er aus der Haft entlassen und kehrte am 21. Oktober 1989 nach Lwiw zurück. 1991 erfolgte seine vollständige Rehabilitierung. Der Bezirksrat Lwiw sprach ihm eine Opferrente als politisch Verfolgtem zu. Schuchewytsch engagierte sich erneut politisch: Wiederholt war er Vorsitzender der rechtsextremen nationalistischen Ukrainischen Nationalversammlung (Ukraïns’ka Nacional’na Asambleja, UNA) und ihres paramilitärischen Arms, der Ukrainischen Nationalen Selbstverteidigung (Ukraïns’ka Narodna Samoobrona, UNSO). 2006 wurde Schuchewytsch mit dem höchsten ukrainischen Staatspreis „Held der Ukraine“ ausgezeichnet. Von 2014 bis 2019 war er Parlamentsabgeordneter für die populistische Radikale Partei Oleh Ljaschkos (Radikal’na Partija Olega Ljaško) im Obersten Rat der Ukraine.
Jurij Schuchewytsch starb am 22. November 2022 in Münschen.